参考: Perloff, Jeffrey M. Microeconomics, 8th Edition
提醒一句，如果没兴趣，不想研究学术，那这些都是不必要的，取其神而忘其形，不要本末倒置。不要以为中级就比初级有价值很多。
$$ $$ 前面我们讨论了需求一些细节，包括个体如何决策，也讨论了供给的一些细节包括生产如何发生，如何提高产出，如何定义成本。
现在我们要尝试从数量上观察。
企业主的利润表现为
$$\pi = R - C$$
- R 是 Revenue
- C 是 Cost
- pi 是 利润，至于为什么是 pi，主要是要装的高大上
说人话就是，到手的钱，减去成本，剩下来的就是利润
生产函数表现为
$$q = f(L, K)$$
- q 是产出, Output
- L 是 Labor
- K 是 Capital
说人话就是，产出和 劳动力，资本有关。也就是人越多，机器越多，弄出来的奶茶越多。实际上不一定越多，所以这里是个 f。
短期生产函数表现为
$$q = f(L, \bar K)$$
- K 上面有个横线是指，他是 constant，被 fixed，不变的
说人话就是，短期内，厂房，机器是不会边的，变的是人工，你可以招更多人提高产量。他阐述了一种关系而非一个具体量，他是说招的人越多，生产的奶茶越多，而不是招两倍的人，就生产两倍或 3 倍的奶茶。
边际产出表现为
$$MP_{L} = {\Delta q \over \Delta L}$$
- MP_L 是指 Margin Product 对 L 的关系
- q 是 Output 产出
- L 是 Labor 劳动力
说人话就是，增加的产出/增加的工人数，就是招更多的人能增加的产量，这种增量比例称为边际产量，他告诉你，你招更多人，产量能增加多少。比如奶茶店有 5 个人，你再招发现产量反而下降了，那他的边际产量是负的，也就是说，这种极端情况下完全就不应该再找人了。
工人的平均产出表现为
$$AP_{L} = {q \over L}$$
- AP_L 是指 Average Product 对 Labor 的关系
从这里开始，我们稍微跳一点，给与读者思考空间。
这个函数很简单，描述了一个事情，可能工人多了，平均产出反而上升了，又或者下降了。想象工人如果能以流水线方式生产，效率可能提升，然而就那么多机器，也不能 10 个人用一个机器，所以产出又开始降低。
关于流水线的趣闻，笔者曾经去过苏州的代工厂的流水线体验过一天。流水线(pipeline)是通用的伟大创新，主要观点是分工导致专业化，专业化代表效率，如果我天天拧螺丝，那我可以成为拧螺丝最快的人，大家都是最快的从而导致整体效率提高。但是切身体验一把才知道，流水线对劳动力意味着什么。在经历了一个十分二百五的考试后(默写 26 个字母，23+43 等于多少)，我成功入职，我从有点兴奋到麻木，几个小时后我开始怀疑人生，我会想这样的生存形态究竟有什么意义，我甚至在想我不确定他们还能不能称为人类，他们就在那儿一直重复同一个动作，或者叫人形机器更合理一点。那种工作，没有挑战，没有未来，枯燥，你不能跑到楼下去买杯奶茶，实际上，甚至上厕所也要考虑时间。
去厂里上班，工人们戏称为打螺丝，因为流动性比较强，所以换厂子叫提桶跑路，有些劳工还是挺乐观的，精神状态并没有我那么糟糕。他们主要的困境是，即使离开厂里也不知道干什么，没有学历，没有其他生产资料，很难找到好一点的工作，要么赚不到钱，要么去工地那种地方，他们有些人会考虑赚点的钱，也就是积累了足够的生产资料后，回去开个小店，以至于把他们当作梦想。从有些人的角度看，这听起来有点搞笑，比如我会想，如果开个小店免费送给我，我一定是不肯去的，一家店也没规模效应，上限实际是可以算出来的，对我来说，时间是值钱的，经济成本太高(机会成本等)。实际上，朋友会和我讲让我去和他开公司，我会想，小公司期望收益不一定有多高，也许有一天，会有老婆想要很多钱，多到变成一个数字，我会跑出去给她弄。另外一个角度，开店要啥子钱，对我来说，觉得有赚头借点钱就搞起来了，不想借就拉些人入伙，赚了一起分也好弄，你觉得一定能搞，可以借助杠杆去对赌，去和投钱的老板讲赚到一起分，算股权，亏了算借贷。有些人说这是不同的思维模式，我看来其实并不是，工人承担不了亏损，如果真的有心去开个店，这些都很容易想到，只是不敢这么干。也许根本就没有出路，某一天社会淘汰这种工种的时候，他们大概可以随社会进步而过上更好的生活，所以廉价劳动力或许是血腥的，从这里大概也能看出产业转移重要的原因。积极点，从另外一方面考虑，他们也还是幸福的，毕竟厂房是恒温的，吃喝是不用愁的，休息时还可以去网吧，还可以去自由恋爱。这比那个以科举和小农经济为代表的时代要好很多。
这里倒不是觉得高厂里的工人一等，或者意在劝人好好学习，天天 up。而是想说，不要一天到晚廉价劳动力优势，确实我们有很多经济方法可以干预工人工资以提高一地的生产总值和竞争力，很多场景下也曾高瞻远瞩的这样实践过，可是那是一个群体的真实人生，要有同理心，也许那点微薄的收入真的意味着什么！如果我们每个人都抱着这样的想法，自己一定要做人上人，他们辛苦是因为他们没好好学习或者父母没钱又或者人比较笨，这是一种事不关己高高挂起的想法，如果这是一种群体文化，社会只会越来越糟糕。能读这部分的，说明不是笨蛋，我期望但我们随手在推导出数量关系后，即使发现不断延长工作时长而不是扩招能提高产量，也不要做这样的决策，就像这个小故事说的一样，那是一些人真实的人生。我见过很多聪明的利己者，那些最最顶尖大学的，或许能力不咋地，又或是确实颇有能力，但是利己水平却确实是一流的，这是竞争过载的表现，是文化和历史原因，不好责怪，但是我希望身居高位也要心怀悲悯，我知道有些人心里想的是，大部分人被卖了还会帮着数钱，但是你这么聪明在设计制度规则和政策的时候也请留一些生存空间，而不是假装看不见不知道，如果来这个世界是为了受罪，谁还来，谁还生？能力越大责任越大，不仅是面向老板或者领导，更是面向社会，我有意写在这里，是这个故事的一点私心，送给聪明的你。
让我们综合上述，验证没有在填鸭子，而是真的理解了，
请在 2 分钟内描述下面的图表含义。
等产量曲线表现为
$${\bar q} = f(L, K)$$
- q 是 Output 产出，根据上述描述，是指 fixed
- L 是 Labor
- K 是 Captical
说人话就是，机器多点人少点，和人少点机器多点，可以得到一样的产出。美国在百年前实现了规模化的农业，使用飞机喷洒农药，使用 google 卫星地图看到美国中部地区那些圈圈不是什么军事基地而是农田，人类基本的农业方式笔者小时候刚好经历过，割水稻的时候，拿把镰刀一把一把割，一人几天的工作量等于一个联合收割机三十分钟的工作量，这就是这个曲线的含义，即产出可以在资本和劳动力组合间平衡。所以老一辈说粒粒皆辛苦是有真实含义的。
等产量曲线是一种对长期产出的描述。
技术替代的边际率形式是
$$MRTS = {\Delta K \over \Delta L}$$
- MRTS 是 marginal rate of technical substitution
这个曲线相当有意思也很有现实意义，他考察了固定输出的情况下，劳动力和资本的边际变化，说人话也就是，如果我不用人工割水稻而用收割机，我需要用多少钱来省下一个人。收割机可能相当于 1000000 个人，那么一个人的劳动力就等于收割机的钱/1000000… 他以数量化的方法表达了如何了资本和人力如何置换，当然在这里他依然是不可用的，他只是一种简单的关系阐述，后面我们在讨论一些经济政策，在讨论对比生产效率时会用到这个方法。
很容易的，我们可以推导出
$${MP_{L} \over MP_{K}} = MRTS$$
这也就是为什么，技术替代的边际率沿着等产量曲线递减
根据上面讲解的公式。做一些题目
一个示例: Cobb-Douglas 产出函数是
$$q = AL^{\alpha}K^{\beta}$$
进而推导出
$$MRTS = -{\alpha \over \beta}{K \over L}$$
感兴趣可以自己推导一下，注意不要被 A, alpha, beta 吓到，他们都是常量。不同的产业可能会有不同的系数和指数。
另一个示例: 阐述下面公式的含义
$$f(2L, 2K) < 2f(L, K) = 2q$$
很简单，就是 2 倍投入没得到 2 倍的产出，就是边际回报递减(术语 DRS)的数学表达。
那么如果你没看出来，请表达出 IRS 和 CRS。
Todo
鉴于这些数量方法是所谓中级或高级经济学的内容。绝大部分人不需要。
后面会用英语编写，以使他们更为朴素实用。